Un MOOC pour la Physique

A un instant initial , on découpe le fluide en particules de fluides élémentaires centrées sur un ensemble de points courants M₀ et on suit le mouvement de ces particules au cours du temps dans le référentiel (R).

A un instant t, on peut ainsi définir le vecteur vitesse de la particule qui était en M₀ à l'instant t₀.

On définit naturellement la trajectoire d'une particule de fluide, lieu des positions successives de cette particule au cours du temps.

Dans ce point de vue, un observateur est lié à chaque particule de fluide.

Ce type de description est utile lorsqu'on veut étudier les phénomènes d'advection de contaminants, comme des éléments radioactifs disséminés dans des écoulements et qui suivent les trajectoires des particules de fluides.

C'est cette description qui est choisie traditionnellement en mécanique du point matériel ou du solide par exemple.

En guise d'illustration, un policier qui veut vérifier qu'une voiture particulière ne commet pas d'excès de vitesse choisira de suivre cette voiture et d'en mesurer la vitesse avec un radar embarqué.

Si le policier est plutôt préoccupé par le respect de la limitation de vitesse à un carrefour dangereux, il y posera son radar et contrôlera la vitesse de toutes les voitures qui passeront à cet endroit : c'est l'approche eulérienne d'un écoulement.

De manière plus précise, le fluide est décrit à chaque instant par l'ensemble des vitesses des particules de fluide qui le composent ; on note leur position initiale (à l'instant t = 0). La vitesse d'une particule est alors :

où est le rayon vecteur de la particule à l'instant t.

Ces grandeurs ne dépendent explicitement que du temps pour une particule considérée ( est une fonction connue du temps).

Ainsi, en formalisme lagrangien, la vitesse de chaque particule ne dépend que du temps t (la trajectoire étant connue) et des coordonnées initiales de la particule.

Plutôt que de décrire la vitesse d'une particule de fluide, ce qui fournit des caractéristiques de l'écoulement en fonction du temps mais jamais aux mêmes endroits (la position de la particule ne cesse de varier), la description eulérienne consiste à étudier le mouvement du fluide à des endroits fixes.

Il existe de nombreuses techniques expérimentales permettant de mesurer la vitesse d'un fluide en une position donnée (comme le « fil chaud » qui permet d'obtenir la vitesse du fluide en mesurant le refroidissement d'un fil chauffé, ou l'anémomètre constitué d'une hélice dont la vitesse de rotation donne la vitesse du vent, ...).

Ainsi, on peut suivre l'évolution temporelle de la vitesse en un point M fixe : on obtient la vitesse de la particule de fluide qui se trouve en M à l'instant t de la mesure. Il s'agit donc à chaque fois d'une particule différente.

L'ensemble des vecteurs vitesse des particules forme un champ de vecteurs :

dépendant à la fois de l'espace et du temps : les variables d'espace (x,y,z) et le temps t sont des variables indépendantes.

L'approche eulérienne décrit l'état d'un fluide en mouvement en lui associant des champs : champ des vitesses, champ de pression, champ de température, ...

Le point de vue eulérien est le point de vue implicitement adopté en électromagnétisme et en thermodynamique sur les phénomènes de diffusion.

La description eulérienne est particulièrement adaptée dans le cas des écoulements stationnaires.

Un écoulement stationnaire (ou écoulement en régime permanent) est un écoulement pour lequel la vitesse en tout point M est indépendante du temps :

Dans un écoulement stationnaire, la vitesse est constante en tout point fixe mais la vitesse des particules de fluide varie, sauf exception, avec le temps.

Ainsi, un écoulement stationnaire eulérien n'est pas un écoulement stationnaire lagrangien.

Le caractère stationnaire d'un écoulement dépend du référentiel choisi.

Prenons le cas du sillage d'un canard à la surface d'une rivière : ce sillage, qui donne l'impression de suivre le canard est stationnaire dans le référentiel lié au canard mais n'est pas stationnaire dans le référentiel lié à la berge.