Un MOOC pour la Physique

Cours

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Question

Soit un fluide newtonien de viscosité dynamique η, en écoulement avec un champ de vitesses du type . Donner l'expression de la contrainte tangentielle exercée par le fluide situé au dessous de la cote y sur le fluide situé au dessus de cette cote y.
Quelle est l'expression volumique des forces de viscosité s'exerçant sur un fluide visqueux incompressible et newtonien ?

Pour un écoulement unidirectionnel, tel que , la force de surface tangentielle , appelée force de cisaillement ou de viscosité, qui s'exerce à travers une surface d'aire S normale à vaut (il s'agit de la force exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure) :

La viscosité a pour effet, dans un écoulement unidirectionnel, d'accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s'agit donc d'un transfert interne de quantité de mouvement, qui présente les caractéristiques d'une diffusion de quantité de mouvement.
La force volumique de viscosité est :

Question

Donner la définition du débit volumique et du débit massique et d'un fluide en écoulement. Quelle est la relation entre les deux ?

Solution

Débit volumique :
On appelle débit volumique à travers une surface (S) orientée, le volume de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire.
Ce débit vaut :
Débit massique :
Le débit massique correspond à la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire :

où est le vecteur densité de courant ou vecteur densité de flux de masse de l'écoulement.
Si le fluide est incompressible et homogène, donc si la masse volumique est constante et indépendante du point, alors :

On peut remarquer que ces débits sont les équivalents de l'intensité électrique, du flux thermique et du débit de particules (vu en diffusion).

Question

Donner la définition puis l'expression du nombre de Reynolds. Quelle est sa dimension ?
Quelle est la relation entre le nombre de Reynolds et l'épaisseur de la couche limite ?

Solution

Le nombre de Reynolds est défini comme étant l'ordre de grandeur du rapport du terme convectif sur le terme de diffusion :

où est une taille caractéristique de l'écoulement (la longueur de l'obstacle, par exemple) et la vitesse du fluide loin de l'obstacle.
L'épaisseur de la couche limite s'exprime en fonction du nombre de Reynolds :

Question

Donner la définition du vecteur tourbillon d'un écoulement fluide.
Quelle est la définition d'un écoulement potentiel ?

Solution

Le vecteur tourbillon d'un écoulement fluide est :
Un écoulement non tourbillonnaire est tel qu'en tout point de l'espace :

On peut alors définir (à une constante près) un potentiel des vitesses, noté , par :

L'écoulement est dit potentiel.

Question

Définir un écoulement incompressible.
Pour un écoulement potentiel, démontrer l'équation de Laplace.

Solution

Pour un écoulement incompressible :

On en déduit que le débit volumique se conserve dans un tube de champ et donc concrètement dans une canalisation.
En particulier, si la vitesse est constante sur une section de la canalisation :

Ainsi, lorsque les lignes de champ d'un écoulement se resserrent, la norme du vecteur vitesse augmente.
Les relations et conduisent à l'équation de Laplace (vue également en électrostatique) :

Question

Donner l'expression de l'accélération particulaire en fonction du champ eulérien des vitesses.

Solution

Question

Donner l'expression locale du principe de conservation de la masse.

Solution

C'est une équation de conservation classique :

Question

Écrire l'équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen.
Donner l'équation de Navier – Stokes pour un écoulement visqueux d'un fluide incompressible dans un référentiel galiléen.

Solution

Équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen :

Ou encore :
Équation de Navier – Stokes pour un écoulement visqueux d'un fluide incompressible dans un référentiel galiléen :

Question

Donner la relation de Bernoulli sur une ligne de courant dans un écoulement parfait, homogène, stationnaire et incompressible.
Donner la relation de Bernoulli au sein d'un écoulement parfait, homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel.

Solution

Sur une ligne de courant dans un écoulement parfait, homogène, stationnaire et incompressible :
Entre deux points A et B d'une même ligne de courant :
Au sein d'un écoulement parfait, homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel :

Question

De l'air (considéré comme un fluide parfait incompressible) est soufflé à travers une conduite dont la section change de à .

Un manomètre en U rempli de liquide a une branche connectée à la section et l'autre branche à la section .

En considérant un rapport et une vitesse au niveau de la section , calculer la différence de hauteur du liquide entre les deux branches du manomètre.

La masse volumique de l'air est et celle du liquide dans le manomètre .

Question

Vidange d'un récipient : donner la formule de Torricelli. Quand s'applique-t-elle ?

Solution

La formule de Torricelli est :

est la vitesse du fluide en sortie du trou et la hauteur de liquide au dessus du trou.

Cette formule s'applique rigoureusement quand la hauteur est constante. Elle s'applique également dans l'ARQS ( varie lentement avec le temps).

Question

Qu'appelle-t-on un écoulement de Poiseuille ?
Définir la résistance hydraulique.

Solution

Écoulement de Poiseuille :
Un fluide visqueux incompressible de densité s'écoule dans un tube cylindrique de longueur L et de rayon R.
La pression à l'entrée du tube (z = 0) est P_E. La pression à la sortie du tube est P_S.
La résistance hydraulique est :

Où est le débit volumique de l'écoulement de Poisseuille.