Force s'exerçant sur un tuyau d'évacuation
(20 minutes de préparation)
A la base de la paroi verticale d'un récipient rempli de liquide sur une hauteur h est percé un petit orifice de section S sur lequel est emmanché un tuyau horizontal conique dont l'autre extrémité a une section
(avec
).
En précisant les hypothèses adoptées :
Question
Calculer la pression P au niveau de la section S. Examiner les cas limites
et
.
Utiliser le théorème de Bernoulli et la conservation du débit pour déterminer les grandeurs inconnues
Faire un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé
On fait l'hypothèse d'un régime quasi-stationnaire (h varie lentement).
Le théorème de Bernoulli donne alors en A et en B :
Ainsi :
La conservation du débit massique entre A et O donne :
D'où la pression en A :
Remarque :
Si
:
(pression hydrostatique)Si
:
(pression uniforme dans le tube)
Question
Exprimer, en fonction de
, h et S la force F qui tend à arracher le tube.
On raisonne sur le système fermé suivant (voir figure):
Le contenu du tube et une masse dm qui va entrer à travers S entre les instants t et t + dt.
En régime quasi-stationnaire, la même masse dm va sortir à travers la section s pendant dt. On a bien sur :
Ce système fermé est soumis aux forces extérieures :
Son poids,
Les forces de pression à l'entrée et à la sortie,
La force exercée par le tube sur l'eau, égale à l'opposée de la force exercée par l'eau sur le tube (qui est celle que l'on cherche) notée ainsi
Le théorème de la résultante cinétique donne :
Or :
Et :
D'où l'expression de la force :
Soit :
On obtient une force qui a tendance à arracher le tube vers la droite.
Si
: on retrouve encore les lois de l'hydrostatique.
Si
, la force est nulle.
