Évolution d'une plaque
(20 minutes de préparation)
Les deux réservoirs de section S sont initialement remplis d'une même hauteur h0 d'eau ; ils communiquent via un tube de section s.
Le tube est coupé sur une distance e et un disque de liège d'épaisseur e' < e et de section s' > s est plaqué contre l'extrémité droite.
On constate que le jet gauche permet de maintenir le disque si h1 reste supérieure à une certaine hauteur limite.
Question
Exprimer la force exercée par l'eau de droite sur le disque et celle exercée par l'air.
Le liquide (2) est immobile :
La force exercée par l'eau sur le disque est :
Celle exercée par l'air sur le disque est :
Question
Démontrer le théorème de Bernoulli et trouver la vitesse en B .
En régime quasi – stationnaire, on peut démontrer la formule de Toricelli :
Question
Effectuer un bilan de quantité de mouvement pour obtenir la force exercée par l'eau de gauche sur la plaque. Quelle est la condition d'équilibre ?
A t : le système est le fluide sorti + la masse
de fluide qui va sortir du tube pendant dt.
A t + dt : tout le fluide sorti.
En régime quasi – stationnaire, d'après le théorème d'Euler, la variation de quantité de mouvement de ce système est (en projection selon l'horizontale) :
Soit F la force exercée par le fluide sur la paroi, alors le théorème de la résultante cinétique appliqué au fluide donne :
Comme :
Il vient :
Finalement :
La plaque est alors soumise à la résultante :
L'équilibre est possible si :
Question
Donner qualitativement l'évolution de la plaque dans le temps.
Pour obturer le 1er récipient, il faut que :
On voit que si :
Ces deux conditions sont vérifiées : le comportement du système va dépendre de son « histoire ».
