Un MOOC pour la Physique

L'équation d'Euler s'écrit :

La pression est hydrostatique, ce qui signifie qu'elle est donnée par l'expression obtenue en statique des fluides, soit :

Dans l'hypothèse des petits mouvements, on ne garde que les termes du 1^er ordre (approximation semblable à l'approximation acoustique pour l'étude des ondes dans les fluides).

L'équation d'Euler devient alors :

En projection selon l'horizontale, on obtient l'équation différentielle entre et :

Soit :

L'écoulement est incompressible, donc :

En ordre de grandeur, si on note λ la longueur d'onde de l'onde (dans la direction (Ox)) et a une dimension caractéristique du mouvement vertical (avec ) :

On pourra donc négliger la composante verticale de la vitesse.

L'écoulement est irrotationnel :

Ce qui conduit à, en négligeant  :

Par conséquent, ne dépend pas de z.

Le débit massique est :

Bilan de masse sur une tranche d'épaisseur dx, située entre x et x+dx :

Soit dm la variation de masse dans cette tranche. On peut l'écrire de deux manières :

Ou encore :

Par identification :

Au 1^er ordre :

On a ainsi les deux équations :

Et :

En découplant ces deux équations, on aboutit à l'équation de d'Alembert :

Où la vitesse de propagation de l'onde est :