Oscillations transversales d'une corde plombée
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
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Une corde élastique de masse négligeable est, à l'équilibre, tendue avec une force F entre deux points fixes O et A distants de 4a.
La corde porte, régulièrement espacés, trois plombs P1, P2 et P3 de même masse m.
On néglige le poids des plombs, chaque tronçon de corde dont la longueur est a dans l'état d'équilibre initial est caractérisé par la raideur k et la longueur naturelle
.
On pose
.
On étudie les petits mouvements transversaux des plombs ; l'ordonnée du plomb Pn est yn à la date t (yn << a), on admet que son abscisse reste constamment égale à xn = na.
Question
Question
On recherche des solutions du type
(tous les plombs vibrant en phase à la même fréquence).
Déterminer les valeurs de ω possibles pour de tels mouvements (modes propres du système).
On obtient le système linéaire :
Ce système ne possède de solutions non triviales que si son déterminant est nul :
On obtient alors trois pulsations propres :
