Force centrale
(20 minutes de préparation)
On considère un point matériel soumis à une force centrale d'expression, avec k > 0 :
Question
Montrer que le mouvement est plan.
Le théorème du moment cinétique montre que le moment cinétique est une constante :
On en déduit classiquement que le mouvement est plan.
Question
Montrer que le mouvement obéit à la loi des aires. On notera C la constante des aires associée au mouvement.
L'aire
balayée par le rayon vecteur pendant dt est :
La vitesse aréolaire est :
C'est la loi des aires.
Question
Déterminer la fonction U(r) telle que :
L'énergie mécanique vaut :
Avec
:
La fonction U(r) est donc :
Question
Discuter la nature des trajectoires possibles en fonction de n.
Quelle est la condition pour que U(r) puisse représenter une "cuvette" de potentiel ?
On calcule la dérivée première de U(r) :
Elle s'annule pour :
On calcule la dérivée seconde :
On l'évalue en
:
Ainsi :
Si
:
La position
correspond à une position d'équilibre stable. On est dans un état lié.
Dans le cas où
, il n'y a pas de cuvette de potentiel.
