Exo 8
Question
Déterminer le réel
pour que la fonction
définie sur par :
soit une densité de probabilité.
Vérifiez les trois conditions qui définissent une densité.
La fonction
doit vérifier trois conditions :
.Or :
. Donc, il faut que
.La fonction
doit être continue sauf en un nombre fini de points.Or
est continue sur
car la fonction exponentielle est continue.L'intégrale
doit être convergente et
.La fonction
étant paire, il suffit de montrer la convergence de
.
en posant
.
Donc :
.
Or :
.
Donc l'intégrale
est convergente et
.
Donc l'intégrale
est convergente et
.
Conclusion : La fonction
est une densité de probabilité si
.
Question
On définit la variable aléatoire réelle
. Déterminer une densité de
.
Commencez par déterminer la fonction de répartition de
et déduisez celle de
.
La fonction de répartition de
est définie par :
.
en posant
.
Or :
.
Donc la fonction de répartition de
est :
.
La fonction de répartition de
est définie par :
.
La variable aléatoire
est à valeurs strictement positives.
Donc
si
.
Si
, alors :
.
La fonction
est continue sur
et de classe
sauf peut-être en
.
Pour obtenir une densité de
, on dérive sa fonction de répartition sur
et on complète en
par une valeur arbitraire.
Conclusion : Une densité de
est :
si
et
sinon.
