Exo 3
Vous revenez de voyage en avion avec trois valises.
A l'arrivée, les bagagistes de l'aéroport font défiler les
bagages de l'avion un par un au hasard sur le tapis roulant.
Question
Calculer la probabilité pour que vos trois valises se suivent sur le tapis.
Calculez le nombre de dispositions possibles de vos valises, puis ordonnez les bagages.
Soit
l'événement « vos trois valises se suivent sur le tapis ».
L'ordre des bagages sur le tapis est choisi au hasard, donc il y a équiprobabilité.
Donc :
, et :
.
Pour calculer
, il faut successivement :
choisir le rang de votre première valise : il y a
rangs possibles puisqu'il y a encore deux autres valises à placer après.ordonner vos trois valises : il y a
manières de les ordonner.ordonner les
autres bagages : il y a
manières de les ordonner.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La probabilité que vos trois valises se suivent sur le tapis est
.
Dans un gros avion (
grand), c'est évidemment très peu probable.
Question
Calculer la probabilité pour qu'aucune de vos trois valises ne se suivent.
Calculez le nombre de dispositions possibles de vos valises, puis ordonnez les bagages.
Soit
l'événement « aucune de vos trois valises ne se suivent sur le tapis ».
On note
le rang sur le tapis de votre première valise,
celui de votre deuxième valise et
celui de votre troisième valise.
Vos trois valises ne se suivent pas, donc :
.
Après le rang
, il doit rester au moins la disposition « -
-
», donc :
.
Après le rang
, il doit rester au moins la disposition « -
», donc :
.
Et :
. Une fois vos deux premières valises placées, il reste
places pour la troisième valise.
Donc le nombre de dispositions de vos trois valises est :
en posant :
.
Donc :
en posant :
.
Donc :
.
Il reste à ordonner vos trois valises, puis les
autres bagages.
Donc :
Donc :
.
Conclusion : La probabilité pour qu'aucune de vos trois valises ne se suivent sur le tapis est
.
Dans un gros avion, c'est évidemment le cas le plus probable.
