Détente d'un fluide en régime stationnaire
(15 minutes de préparation)
On considère l'écoulement stationnaire dans une tuyère d'un fluide compressible et de vitesse importante.
L'écoulement est supposé irrotationnel.
La section de la tuyère
est lentement variable avec l'abscisse x. La pression est
, la masse volumique
et la vitesse
.
Question
Écrire l'équation d'Euler et la simplifier en tenant compte des hypothèses du texte et en négligeant le poids.
Compte tenu des hypothèses, l'équation d'Euler devient :
Question
On considère une variation
de l'abscisse du point d'étude.
La pression varie alors de
, la vitesse de
et la masse volumique de
.
Écrire une relation entre
,
,
,
et
(vitesse du son dans le fluide).
L'équation d'Euler s'écrit :
Par conséquent :
Question
On rappelle que la vitesse du son
vérifie la relation :
En déduire la relation (1) entre
,
,
,
et
.
On remplace
dans la dernière équation, alors :
(équation (1))
Question
Écrire l'expression du débit massique
et indiquer l'hypothèse donnée qui justifie sa conservation.En déduire la relation (2) entre
,
,
,
,
et
.
Le débit massique est :
L'équation de conservation de la masse montre que
est constant en régime stationnaire. La différentielle logarithmique de l'expression précédente donne :
(équation (2))
Question
Montrer, à partir des relations (1) et (2) que
et
vérifient la relation (3) :
où
est une fonction de
à préciser.
On élimine
entre les équations (1) et (2) :
Question
En exploitant la relation (3), indiquer comment évolue la vitesse dans les deux parties de la tuyère (avant et après le col) si
et si
.A quelle condition le fluide subit-il une accélération pendant toute la traversée de la tuyère ?
On suppose
: alors
(écoulement subsonique)Si
:
diminue et
, la vitesse augmente (accélération)Si
:
augmente et
, la vitesse diminue (freinage)
On suppose
: alors
(écoulement supersonique)Si
:
diminue et
, la vitesse diminue (freinage)Si
:
augmente et
, la vitesse augmente (accélération)
Si le fluide atteint la vitesse
dans le col, il continuera à être accéléré en sortie.
Question
Donner l'expression du débit volumique
du fluide.Montrer que ce débit est conservé dans le cas où
. Comment peut-on alors considérer l'écoulement ?
Le débit volumique est :
On calcule la différentielle logarithmique :
Si
, alors l'équation (3) devient : 
Ce qui montre que le débit volumique se conserve.
Le fluide est alors en écoulement incompressible.
