Sphère gravitationnelle creuse ou pleine
(10 minutes de préparation)
On considère :
Sphère creuse massique de rayon R (densité surfacique
)Sphère pleine massique de rayon R (masse volumique
)
Question
Utiliser le théorème de Gauss pour calculer , dans chaque cas, le champ gravitationnel créé en tout point M de l'espace.
Écrire, par analogie, le théorème de Gauss pour la gravitation.
Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel
s'écrit, au niveau local :
où ρ est la masse volumique.
Et, au niveau intégral :
Sphère creuse massique :
Les symétries et invariances donnent :
Si
: 
donc
Si
: 
(M est la masse totale de la sphère,
)Soit :
Ce champ est équivalent à celui d'une masse ponctuelle placée au centre de la sphère.
Sphère pleine massique :
Si
: 
D'où :
Si
:
Soit :
Ce champ est équivalent à celui d'une masse ponctuelle placée au centre de la sphère.
