Un MOOC pour la Physique

Un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide obéit à l'équation différentielle suivante (cas à une dimension) :

On pose :

est le facteur d'amortissement de l'oscillateur et Q le facteur de qualité.

Alors :

On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes.

On aboutit au polynôme caractéristique :

dont le discriminant est :

Différents régimes sont observés, selon les valeurs prises par (ou ) :

• régime pseudo-périodique : alors

  Dans le cas où et la vitesse initiale nulle :

  

  Avec :

  

  la pseudo-pulsation.

  On peut noter que le facteur de qualité donne l'ordre de grandeur du nombre de pseudo-oscillations visibles expérimentalement.

• régime apériodique : alors

  Dans le cas où et la vitesse initiale nulle :

  

  

• régime apériodique critique : alors

  Dans le cas où et la vitesse initiale nulle :

  

En présence d'une force de frottement fluide de la forme :

Le PFD projeté sur le vecteur donne : (on peut aussi utiliser le théorème du moment cinétique)

Soit :

Si l'angle reste « petit », alors on retrouve l'équation habituelle :

Intérêt de l'étude :

L'analyse harmonique (ou fréquentielle) d'un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c'est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu'il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ω.

Modèle choisi : oscillateur mécanique vertical à point d'attache mobile

Le point d'attache du ressort est mobile en A.

Dans le référentiel galiléen du sol :

En utilisant la condition d'équilibre :

Soit, avec les notations habituelles :

Dans la suite, on choisit :

Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un GBF (voir cours d'électricité) :

Si on note la tension aux bornes du condensateur : ( )

Soit :

Méthode de résolution par les nombres complexes (comme en électricité) :

On pose :

Alors :

Réponse en amplitude  :

Soit :

Ou encore :

L'amplitude maximale s'obtient en prenant le module de l'expression précédente :

est maximale pour une pulsation qui vaut (et qui existe si ) :

Et l'amplitude maximale à la « résonance d'amplitude » est :

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d'amortissement  : ( ) :

Et :

Remarque :

Pour de faibles amortissements ( "faible" et "grand"), alors :

Ainsi, si , l'amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l'excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

La figure précédente donne l'allure de pour différentes valeurs du facteur de qualité .

On a choisi et posé .

Plus Q est grand et plus la résonance est aigüe.

L'oscillateur constitue un filtre passe-bas, avec ou sans résonance.

Réponse en vitesse :

En notation réelle :

En notation complexe :

En remarquant que , il vient :

Ou encore :

L'amplitude maximale de la vitesse s'obtient à partir du module :

sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse), si le dénominateur est minimal, c'est à dire pour une pulsation telle que :

L'amplitude de la vitesse valant alors :

La figure précédente donne l'allure de pour différentes valeurs du facteur de qualité .

On a choisi et posé .

Plus Q est grand et plus la résonance est aigüe.

L'oscillateur constitue un filtre passe-bande.

Bande passante du filtre passe-bande :

C'est l'ensemble des pulsations ω pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain maximal (obtenu pour ω₀) divisé par .

La largeur de la bande passante vaut :

Elle est d'autant plus faible (résonance aiguë) que l'amortissement est faible (et le facteur de qualité grand).