Retraitement des eaux
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Le demi-espace métallique z < 0 est porté au potentiel uniforme V0 > 0. Le demi-espace z > 0 est rempli d'un électrolyte constitué de cations K+ et d'anions A-.
Le problème étant invariant par translation selon (Ox) et (Oy) et le potentiel V(z) ne dépend que de z.
À l'équilibre thermodynamique à la température T, les densités volumiques d'ions (cations et anions) dans l'électrolyte sont données par des facteurs de Boltzmann :
et
Question
Citer un autre contexte où on voit apparaître un facteur de Boltzmann . Préciser la signification physique de cette loi.
Les expressions font intervenir l'énergie potentielle
d'un ion de charge q dans le potentiel électrique V dans le terme
, appelé facteur de Boltzmann.
On retrouve ce terme en théorie cinétique des gaz parfaits et lors de l'étude de l'atmosphère isotherme.
Question
Exprimer la densité volumique de charges ρ(z) en fonction de e, V(z), n0, kB et T. En déduire que le potentiel V(z) est, sous réserve que
, solution d'une équation de la forme :
Où D est une constante qu'on explicitera en fonction de ε0, kB, T, n0 et e.
Penser à l'équation de Poisson.
La densité volumique de charges totale est :
L'équation de Poisson,
donne ensuite :
Avec
, il vient :
Avec :
Question
Déterminer V(z) en fonction de V0, z et D sachant que V(∞) = 0. En déduire l'expression du champ électrostatique
dans l'électrolyte en fonction de V0, z et D. Pourquoi parle-t-on d'écrantage du champ ?
La solution de l'équation est , compte tenu des conditions aux limites :
Le champ est donné par :
En l'absence d'électrolyte, le champ électrostatique serait uniforme. L'effet de l'électrolyte est d'écranter le champ sur une distance caractéristique D.
