Agitateur magnétique
(10 minutes de préparation)
On modélise grossièrement le champ des vitesses dans un bêcher rempli d'eau et muni de son agitateur magnétique de la façon suivante :
- le vecteur tourbillon est avec
avec
constant pour
(au-dessus de l'agitateur)
- le vecteur tourbillon est nul pour
.
Question
Déterminer le champ des vitesses compatible avec la symétrie cylindrique du problème.
Le théorème de Stokes permet d'écrire :
On obtient :
Question
Déterminer l'équation
de la surface de séparation entre l'eau et l'air.
On détermine l'expression de la pression en fonction de z et de r ; pour connaître l'équation de la surface libre, il faudra écrire que cette pression vaut la pression atmosphérique P0.
Pour
, l'écoulement est bien irrotationnel et le théorème de Bernoulli s'applique et donne directement :
Pour
, on note
la cote de la surface libre, alors, pour tout z sur la surface libre :
Pour
, l'écoulement n'est plus irrotationnel ; on peut revenir à l'équation d'Euler :
Soit ici :
On en déduit par intégration :
En se plaçant à la surface :
où z0 est la cote pour r = 0. On écrit la continuité de la cote z en r = a :
La dernière inconnue est obtenue en écrivant la conservation du volume :
