Espérance mathématique et variance
On considère toujours un espace probabilisé
dont l'univers
n'est pas dénombrable.
Définition :
Soit
une variable aléatoire de densité
.
Si l'intégrale
est absolument convergente, on appelle espérance mathématique de
le réel
.
Comme les variables discrètes infinies, certaines variables aléatoires à densité n'ont pas d'espérance mathématique. Il faut étudier la convergence de l'intégrale.
On reprend l'exemple précédent.
Exemple :
Soit
une variable aléatoire de densité
définie par :
si
et
sinon.
La variable
a-t-elle une espérance mathématique ?
Les propriétés des espérances des variables discrètes s'étendent aux variables continues sous réserve d'existence.
Fondamental :
Propriétés
Si
, alors :
sous réserve de convergence absolue (Théorème de transfert).
.
si
et
sont deux variables aléatoires ayant une espérance.
Comme pour les variables aléatoires discrètes, la variable est centrée si
.
Comme pour les variables aléatoires discrètes, on appelle moment d'ordre r de
l'espérance de la variable
, sous réserve d'existence.
Définition :
Si
est une variable aléatoire qui possède une espérance, on appelle variance de
le moment d'ordre
de la variable aléatoire centrée associée à
, c'est-à-dire le réel :
sous réserve d'existence.
Son écart-type est le réel :
.
Certaines variables aléatoires n'auront donc pas de variance.
Fondamental :
Propriétés
.
pour tous réels
et
.
(Théorème de Koenig-Huygens).
.
On reprend l'exemple précédent.
Exemple :
La variable
a pour densité
définie par :
si
et
sinon.
On rappelle que son espérance est
.
La variable
a-t-elle une variance ?
Comme pour les variables aléatoires discrètes, la variable est centrée réduite si
et
.
La variable centrée réduite associée à
est
.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev reste valable.
Fondamental :
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
pour tout
.
