Cambodge 2021

On se place maintenant dans le cas d'expériences aléatoires pour lesquelles l'univers n'est ni un ensemble fini, ni un ensemble infini dénombrable, mais par exemple un intervalle de .

On a une expérience aléatoire. On peut repérer la position du cycliste par exemple par l'angle que fait cette position avec la ligne de départ.

On définit ainsi une application de dans telle que .

C'est une variable aléatoire et on cherche à déterminer .

A priori, on ne sait pas déterminer cette probabilité. Cependant, n'ayant pas d'information sur la vitesse, l'heure,... on peut dire que la probabilité est uniforme, c'est-à-dire que le cycliste a la même probabilité de se trouver n'importe où sur la piste.

On est sûr qu'il est sur la piste : .

Il a autant de chances de se trouver sur la première moitié de la piste que sur la seconde : .

Et plus généralement, si est un entier naturel non nul : .

Cela montre en faisant tendre vers que .

Et ce serait vrai partout, alors que, cependant .

Ce n'est donc pas en calculant , que l'on aura des renseignements sur la variable aléatoire.

En réalité, la vitesse étant uniforme, ce que l'on sait évaluer, c'est la probabilité que la position du cycliste soit comprise entre deux valeurs et ( ), car il y a proportionnalité entre cette probabilité et l'angle de la portion de piste considérée : .

Or on a vu avec les variables discrètes que si est la fonction de répartition de : .

C'est donc la fonction de répartition qui va nous permettre de connaître les variables aléatoires sur les ensembles non dénombrables.

Ici si , si et si .

On peut remarquer que avec .

La fonction est appelée densité de probabilité de .

Dans notre cas, c'est une fonction constante sur et nulle ailleurs : on dira ici que suit la loi uniforme sur l'intervalle .

De telles variables aléatoires sont appelées variables à densité.