Variables aléatoires à densité
On considère un espace probabilisé
dont l'univers
n'est pas dénombrable.
Définition :
Une variable aléatoire
est absolument continue si sa fonction de répartition
est continue sur
et de classe
sur
sauf peut-être en un nombre fini de points.
Toute fonction
vérifiant
en tout point où
est dérivable est appelée densité de probabilité de
.
Une telle variable aléatoire est aussi appelée variable à densité.
L'ensemble
des valeurs prises par
est l'ensemble des réels
pour lesquels
.
Attention :
On peut remarquer qu'il peut exister plusieurs densités de probabilité. Elles coïncident aux points où
est dérivable, mais pas ailleurs.
Définition :
Une fonction
définie sur
est une densité de probabilité si :
.-
est continue sur
sauf peut-être en un nombre fini de points.
est convergente et
.
On admettra qu'il existe alors un espace probabilisé et une variable aléatoire
dont la fonction
est une densité de probabilité.
Exemple :
Soit
la fonction définie par :
si
et
sinon.
Montrer que la fonction
est une densité de probabilité.
Fondamental :
Propriétés
Si
est une variable aléatoire de densité
, alors :
.Sa fonction de répartition est :
.Sa fonction de répartition est croissante sur
. Elle vérifie :
et
.Sa fonction de répartition est continue sur
et de classe
sauf peut-être en un nombre fini de points. Là où elle est dérivable :
.
On reprend l'exemple précédent.
Exemple :
La fonction de répartition
est définie par :
.
Cette intégrale est convergente pour tout réel
puisque
.
Donc :
si
et
si
.
Comme pour les variables aléatoires discrètes, on peut exprimer les probabilités des événements liés à
à l'aide de la fonction de répartition.
Mais, comme
, les résultats sont les mêmes que les inégalités soient larges ou strictes.
Par exemple :
.
Fondamental :
.
.
.
Les opérations sur les variables aléatoires à densité sont les mêmes que pour les variables discrètes :
Somme
de deux variables aléatoires.Produit
de deux variables aléatoires.Image
d'une variable aléatoire
par une fonction
.
