Chaîne sur le bord d'une table
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
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Une chaîne flexible AB de longueur L, de masse m répartie uniformément avec une masse linéique λ, se trouve initialement au repos sur le bord d'une table horizontale.
Une longueur a déborde de l'extrémité de la table.
La chaîne glisse sans frottement.
Le mouvement est décrit dans le repère galiléen (R) lié à la table.
On note x(t) l'abscisse instantanée de A.
Question
Exprimer l'énergie potentielle instantanée Ep de la chaîne. On prendra l'origine en x = 0.
La partie horizontale de la chaîne a une énergie potentielle nulle. La partie verticale de masse
dont le centre de masse a pour abscisse
a une énergie potentielle :
Question
Question
Déterminer l'abscisse verticale du centre de masse G de la chaîne ainsi que son accélération verticale en fonction du temps.
Par définition, l'abscisse du centre d'inertie de la chaîne est :
On calcule la vitesse :
Puis l'accélération :
Question
Calculer la réaction de la table. La chaîne décolle-t-elle avant de quitter la table ?
Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la chaîne et en en projection sur Ox donne :
D'où :
La chaîne décolle pour
, soit à l'instant
:
Elle quitte la table à l'instant
tel que :
On peut montrer que
: la chaîne décolle avant de quitter la table.
