Énergie magnétique stockée dans une bobine
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
Une bobine de longueur
, de rayon a et d'axe (Oz), est constituée par un enroulement de n spires circulaires jointives par unité de longueur.
On utilisera pour l'étude qui suit l'approximation du solénoïde infini et on se place dans l'ARQS.
Question
Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I.
Le but de cet exercice est de vérifier le bilan d'énergie électromagnétique, alors, laissez vous guider ...
Au fait, pouvez-vous écrire le bilan local puis intégral de l'énergie du champ électromagnétique ?
Le champ magnétique est (voir cours) :
Question
Quelle est l'énergie magnétique de la bobine ? En déduire la valeur de l'inductance L de la bobine.
L'énergie magnétique s'écrit de deux manières :
D'où :
Question
La bobine est placée dans un circuit série avec une résistance R et un générateur de fém constante U0.
Déterminer l'expression I(t) du courant dans la bobine en fonction du temps.
Classiquement :
Question
Calculer les champs magnétique et électrique créés par la bobine en tout point à l'instant t.
On note :
A l'intérieur :
A l'extérieur, le champ est nul.
Le champ électrique est orthoradial (faire une étude de symétries) ; il dépend de r et du temps.
On applique le théorème de Stokes en prenant un cercle comme contour :
Si
:
Si
:
Question
Déterminer les densités volumiques d'énergies magnétique et électrique. Que peut-on dire du rapport de ces deux énergies ? Conclure.
L'énergie volumique magnétique vaut :
L'énergie volumique électrique vaut, par exemple en r = a où elle est maximale : (en utilisant
)
On évalue le rapport :
, avec
.
L'énergie électrique est négligeable ; dans l'ARQS, une bobine est essentiellement magnétique !
Question
Quelle est l'expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le volume de la bobine ? Commentaires.
On évalue le vecteur de Poynting en r = a :
Le flux entrant à travers la bobine est alors :
Ce flux correspond bien à la variation de l'énergie emmagasinée sous forme magnétique par la bobine par unité de temps.
