Objectif de photocopieur
(15 minutes de préparation)
Les procédés actuels de reprographie nécessitent la formation de l'image du document sur une surface photosensible par l'intermédiaire d'un objectif de reproduction.
On désire reproduire un document de format A4 soit en A4 (même format), en A3 (format double en surface) ou en A5 (format moitié en surface).
On réalise ces différents tirages à l'aide d'un objectif en modifiant la position respective des lentilles à l'intérieur du système.
La distance entre le document et le récepteur photosensible est de 384 mm et l'on positionne une première lentille mince divergente (L1) de distance focale image
à 180 mm du récepteur (voir figure 1).
Question
La lentille (L1) peut-elle donner une image du document sur le récepteur ?
L'objet étant réel et la lentille (L1) divergente, l'image du document sera nécessairement virtuelle et ne pourra donc pas être captée par le détecteur photosensible.
On peut le vérifier en appliquant la formule de conjugaison de Descartes, qui s'écrit, en notant Av la position de l'image de A :
Soit
. L'image Av, située en avant de la lentille (L1) est bien virtuelle.
Question
On ajoute alors une lentille mince (L') devant la lentille (L1) à 180 mm du document (figure (2)).
Calculer la distance focale image
de cette lentille pour obtenir une image réelle du document sur le récepteur.
En déduire le grandissement
de l'association des deux lentilles et indiquer quel type de tirage permettra cet objectif : transformation de A4 en A3 ou de A4 en A5.
Soit Ai l'image de A à travers la lentille (L') ; l'image de Ai à travers la 2nde lentille (L1) étant le point A' situé sur le récepteur.
La relation de conjugaison de Descartes, écrite pour la 2nde lentille, permet de déterminer la position de Ai par rapport à (L1) :
Soit :
La relation de Descartes écrite pour la 1ère lentille permet alors d'en déduire
, sachant que :
D'où
.
La lentille (L') est convergente.
Le grandissement total à travers les deux lentilles peut s'écrire :
Par conséquent, les dimensions transverses du document seront agrandies d'un facteur
et le document verra ainsi sa surface doubler : l'objectif permet un tirage du format A4 vers le format A3.
Question
En fait la lentille (L') est constituée de deux lentilles accolées (L'2) et (L3), (L'2) étant identique à (L1).
Calculer la distance focale image
de la lentille (L3). Quelle est la nature de cette lentille mince ?
La formule des opticiens, valable lorsque deux lentilles minces sont accolées, permet de déterminer
:
D'où
: la lentille (
) est convergente.
Question
On glisse alors la lentille (L3) afin de l'accoler à (L1).
Montrer que l'image du document reste sur le récepteur et calculer le grandissement correspondant
correspondant à l'association de ces trois lentilles ; en déduire le type de tirage obtenu.
Si l'on applique le principe de retour inverse de la lumière, un rayon issu du récepteur atteint la lentille (L') puis ensuite la lentille (L1) avant de converger finalement sur le document.
Par ailleurs, le grandissement vaut (en valeur absolue)
.
Par conséquent, la photocopie a diminué la taille du document initial, le faisant passer du format A4 au format A5.
