Exo 7
Question
Déterminer dans
l'ensemble des points
tels que l'intégrale
converge.
Comparez l'intégrale à des intégrales de Riemann.
Pour tout
, la fonction
:
est continue sur
et positive.
Donc l'intégrale
est impropre en
et dans certains cas en
.
Donc on étudie la convergence des intégrales :
et
.
Si
et
:
, donc l'intégrale
converge car
.
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
converge si et seulement si :
.
Si
et
:
, donc l'intégrale
converge car
.
, donc l'intégrale
diverge.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
diverge.
Si
et
:
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.-
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
converge si et seulement si :
.
Si
et
:
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
converge si et seulement si :
.
Si
, alors :
. Donc :
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
, donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
diverge car les conditions sont incompatibles.
Si
alors :
. Donc :
si
,
si
et
si
.Donc l'intégrale
converge dans tous les cas.
si
,
si
et
si
.Donc l'intégrale
converge si et seulement si
.
Donc, dans ce cas, l'intégrale
converge si et seulement si :
.
En résumé, l'intégrale
converge si et seulement si :
ou
ou
ou
.
Conclusion : L'ensemble cherché est
.
.
