Cambodge 2021

Exo 2

Pour tout , on pose : .

Question

Démontrer que : si .

Indice

Utilisez un changement de variable.

Solution

D'après les formules de trigonométrie : .

Donc, on pose : , donc : et .

Donc : .

Or : et . De plus : .

Donc, si : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

Pour tout , on pose .

Exprimer en fonction de .

Indice

Intégrez par parties.

Solution

On intègre par parties l'intégrale : .

.

Donc : .

Conclusion : .

Question

Montrer que et en déduire un équivalent de .

Indice

Etudiez le sens de variations de la suite , puis introduisez la suite de terme général .

Solution

, donc .

Donc : , donc : , donc : .

Or, sur , la fonction est continue, positive et non identiquement nulle.

Donc : , et donc : , donc : .

Conclusion : .

D'après 1) : , donc .

Donc la suite de terme général est constante, égale à .

Or : et : .

Donc : .

Or : . Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire un équivalent de .

Solution

D'après la première question : .

Or : . Donc : et . Donc : .

Conclusion : .

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