Variance et écart-type
On considère un espace probabilisé
.
Soit
une variable aléatoire discrète finie d'univers image
et pour laquelle on pose :
.
Définition :
Pour toute variable aléatoire discrète finie
et tout entier naturel
, on appelle moment d'ordre r de
l'espérance de la variable
.
Le moment d'ordre
de
est égal à
.
Le moment d'ordre
de
est son espérance.
Définition :
On appelle variance de
le moment d'ordre
de la variable aléatoire centrée associée à
.
La variance de
est donc le réel :
.
Comme en statistiques, elle mesure la dispersion de
autour de sa "valeur moyenne"
.
Fondamental :
Propriétés
Soit
une variable aléatoire réelle discrète finie :
.
pour tous réels
et
.
(Théorème de Koenig-Huygens).
C'est cette dernière expression qui est le plus souvent utilisée pour calculer la variance.
On reprend l'exemple étudié précédemment.
Exemple :
Exemple
On a vu que la loi de probabilité de la variable aléatoire
est :
Définition :
L'écart-type d'une variable aléatoire discrète finie
est le réel :
.
Propriété :
pour tous réels
et
.
On retrouve la définition de l'écart-type en statistiques.
Définition :
Une variable aléatoire
est centrée réduite si
et
.
On peut remarquer que pour toute variable aléatoire discrète finie
, si
, alors :
et
.
La variable aléatoire
est appelée variable aléatoire centrée réduite associée à X.
Fondamental :
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit
une variable aléatoire discrète finie.
Alors :
pour tout
.
Cette inégalité n'a d'intérêt que si
puisque l'on sait que la probabilité est majorée par
.
Par exemple, la probabilité que
s'écarte de sa moyenne de plus de
est plus petite que
.
Cela signifie qu'il y a au moins
% de chances que
prenne ses valeurs dans l'intervalle
.
