Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète finie
On considère un espace probabilisé
.
Soit
une variable aléatoire discrète finie d'univers image
et pour laquelle on pose :
.
Définition :
On appelle espérance mathématique de
le réel :
.
L'espérance mathématique correspond à la notion de moyenne statistique : c'est la valeur « moyenne » prise par la variable aléatoire
.
On reprend l'exemple déjà étudié.
Exemple :
Exemple
On a vu que la loi de probabilité de la variable aléatoire
est :
Déterminer son espérance mathématique.
Fondamental :
Propriétés :
Soit
une variable aléatoire réelle d'univers image
et de loi définie par :
.
Si
, alors :
(Théorème de transfert)
pour tous réels
et
.Si
et
sont deux variables aléatoires discrètes finies, alors :
.
Par exemple :
.
L'application qui, à toute variable aléatoire discrète finie, associe son espérance est linéaire.
Définition :
Une variable aléatoire
est centrée si son espérance est nulle.
En particulier, un jeu est équitable si la variable aléatoire mesurant le gain est centrée.
On peut remarquer que pour toute variable aléatoire discrète finie
, si
, alors :
.
La variable aléatoire
est appelée variable aléatoire centrée associée à X.
Fondamental :
Inégalité de Markov
Soit
une variable aléatoire discrète finie ne prenant que des valeurs positives ou nulles.
Alors :
pour tout réel
.
Cette inégalité n'a d'intérêt que si
puisque l'on sait que la probabilité est majorée par
.
Par exemple, la probabilité que
soit plus grande que
est plus petite que
.
