Un MOOC pour la Physique

On considère le pendule pesant de la figure suivante.

On note le moment d'inertie de ce pendule par rapport à l'axe de rotation .

La liaison pivot en O est supposée parfaite.

On note le vecteur vitesse angulaire du pendule, étant l'angle avec la verticale (voir figure).

Application du théorème du moment cinétique :

Le moment cinétique du pendule par rapport à l'axe de rotation est :

Le moment du poids par rapport à O est :

où .

La réaction du support, appliquée en O, a un moment nul.

Par conséquent, le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe de rotation donne directement :

Étude énergétique :

La liaison étant parfaite, la réaction du support ne travaille pas.

Le pendule pesant est un système conservatif. Son énergie mécanique est :

En dérivant par rapport au temps, on retrouve l'équation différentielle précédente.

Cas des petits mouvements :

On peut alors assimiler . Ainsi :

C'est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation :

Remarque : dans le cas d'un pendule simple, il suffit d'écrire que .

Un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de torsion.

Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion qu'on lui impose :

où est la constante de torsion du fil.

Étude mécanique :

Le théorème du moment cinétique donne, en l'absence de frottements :

On obtient un oscillateur harmonique de pulsation :

Étude énergétique :

La puissance du couple de torsion est :

On peut ainsi définir l'énergie potentielle de torsion du fil :

qui est l'analogue de l'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique en translation, , où représente l'élongation du ressort par exemple.