Quantité d'électricité induite
(15 minutes de préparation)
(S) est une spire de centre 0 et de rayon a. Elle possède une résistance R et un coefficient d'auto-inductance L.
(S0) est un solénoïde « semi - infini », de rayon a', comportant n spires par unité de longueur. L
es axes de (S) et (S0) sont communs et le point O est situé à une distance D de la face d'entrée du solénoïde.
Dans toute la suite, on supposera que l'on a :
D » a' et D » a.
Le coefficient de mutuelle entre (S) et (S0) est donné par :
On crée un courant I constant dans le solénoïde.
Question
Déterminer la quantité totale d'électricité q qui aura traversé toute section du fil constituant la spire. Commenter.
Quand on crée le courant I dans le solénoïde, il apparaît un flux variable à travers la spire.
On note i' le courant dans le solénoïde, variant de 0 à I sur une durée
. Si i est le courant dans la spire (S), alors la fém qui se crée est donnée par la loi de Fraday :
On intègre en 0 et
:
Soit, avec
et
:
On remarque que qind < 0 : le signe – est lié à i < 0 (loi de Lenz).
Question
On suppose que le courant I est créé à partir de t = 0 de façon « suffisamment rapide ». Préciser.
Quelle est alors l'expression du courant i(t > 0) circulant dans La spire ? Commenter.
La spire est caractérisée par L et R (temps caractéristique
). On suppose que
. On repart alors de :
Que l'on intègre entre 0 et
, afin d'obtenir en quelque sorte une condition initiale :
D'où :
On a considéré que :
quand
tend vers 0.
Pour
, l'équation différentielle vérifiée par i est simplement :
D'où :
On peut retrouver la quantité de charge induite :
