Mouvement d'un cerceau
(15 minutes de préparation)
Un cerceau de masse M et de rayon R est lancé avec les conditions initiales suivantes :
, avec v0 > 0 et
, avec ω0 > 0.
Il reste en contact avec le plan horizontal ; ce contact est caractérisé par un coefficient de frottement de glissement f.
Question
Déterminer
et
pour la 1ère phase du mouvement. A quel instant cette phase s'achève-t-elle ?
Tout le monde a essayé un jour de faire revenir un cerveau vers soi après l'avoir lancé ...
Que vaut la vitesse de glissement à
?
Le mouvement du cerceau est donné par la vitesse
de son centre C et son vecteur rotation
.
La vitesse de glissement par rapport au sol est :
A
,
, est non nulle : la 1ère phase est une phase avec glissement dans le sens des x positifs.
Les forces s'exerçant sur le cerceau sont : le poids et la réaction du support.
Le théorème de la résultante cinétique donne :
Le théorème du moment cinétique en C donne :
De plus, durant la 1ère phase :
Il vient :
La vitesse de glissement à l'instant t est alors :
Elle s'annule à l'instant :
la 1ère phase s'achève à cet instant.
Question
À quelle condition le cerceau revient-il en arrière ?
La 2ème phase est une phase de roulement sans glissement. L'équation
n'est plus valable durant cette phase et doit être remplacée par :
Les autres équations restant valables. On en déduit :
Soit :
Le cerceau revient en arrière si
, soit :
