Exo 10
Question
Montrer que, pour tout entier naturel
, il existe un unique polynôme
tel que :
.
Commencez par justifier l'unicité.
Raisonnez par récurrence pour prouver l'existence.
La fonction
:
est définie, impaire et de classe
sur
et
.
Donc
est continue et décroissante sur
, puis croissante sur
.
De plus
. Donc :
et
.
On peut déjà remarquer qu'il y a unicité car si deux polynômes convenaient, ils coïncideraient pour tout
, donc au moins sur
, donc ils seraient égaux.
Pour montrer l'existence, on raisonne par récurrence double.
Initialisation :
, donc :
en posant
.
Et :
en posant
.
Donc
et
existent.
Hérédité : Soit
tel que
et
existent.
Donc :
et
.
Or :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
en posant :
.
Donc
et
existent.
Conclusion :
et
existent pour tout
.
Conclusion : Pour tout entier
, il existe un unique polynôme
tel que
.
Question
Déterminer le degré de
, son coefficient dominant et sa parité.
A l'aide des premiers termes, conjecturez un résultat puis démontrez le par récurrence.
On a :
,
et
.
Donc :
,
et
.
On conjecture donc que
, que son coefficient dominant est
si
et que
. Notons
cet ensemble de propriétés.
Pour montrer que
est vraie pour tout
, on raisonne par récurrence double.
Initialisation : D'après les calculs précédents,
et
sont vraies.
Hérédité : Soit
tel que
et
soient vraies.
. Or :
.
Donc :
d'après l'hypothèse de récurrence.
Et le coefficient dominant de
est celui de
, donc d'après l'hypothèse de récurrence, ce coefficient est
.
. Donc d'après l'hypothèse de récurrence :
.
Or :
. Donc :
.
Conclusion :
et
sont vraies pour tout
.
Conclusion : Pour tout
,
, le coefficient dominant de
est
si
et
(donc
est de même parité que
).
Question
Déterminer les racines du polynôme
.
Déterminez d'abord le nombre maximal de racines, puis utilisez la définition de
pour les déterminer.
, donc
a au plus
racines distinctes. Or :
.
Donc si
, alors
est une racine de
.
Or
. Donc :
.
Donc si
, une racine de
est :
.
Et
.
Donc
,
, ...,
. Il reste
racines distinctes
,
, ...,
.
Conclusion :
admet
racines distinctes :
pour
.
