Exo 9
Question
Déterminer les polynômes
définis par
,
et
.
Pensez à la récurrence linéaire d'ordre
.
Fixons
, et posons :
. Donc :
et
.
La suite
suit une récurrence linéaire d'ordre
:
.
L'équation caractéristique est :
. Le discriminant est :
.
Soit
une racine carrée de
. Donc :
et
si
.
Si
, l'équation admet deux racines distinctes
et
.
Et il existe deux complexes
et
tels que :
.
Donc :
et
. Donc :
et
.
Donc :
.
Donc :
.
Or :
et
.
Donc :
.
Lorsque
est pair, le terme est nul, donc il ne reste que les termes où
est impair.
Donc en posant
:
.
Or :
. Donc :
.
Donc
coïncide avec le polynôme
sur
.
Deux polynômes qui coïncident sur une infinité de valeurs sont égaux.
Conclusion :
On peut préciser ses coefficients.
. Donc :
.
Donc :
.
Question
Calculer les racines de
.
Utilisez les racines de l'unité.
On peut remarquer que
et
.
Donc
et
ne sont pas racines de
. Donc, si
est une racine de
, alors
.
Donc :
. Donc :
.
Or
car
. Donc :
. Donc :
.
Or :
. Donc :
et
.
Donc en additionnant :
.
Donc :
, donc
.
De plus
, donc
. Donc :
.
Et on peut remarquer que, si
, alors
. Donc les racines sont comptées
fois, ce qui est logique puisque un polynôme de degré
a
racines.
Conclusion : Les racines de
sont les complexes
où
.
