Théorème de Gauss
Une vidéo de présentation sur l'électricité et le magnétisme
Rappel :
On part de l'équation de Maxwell-Gauss, afin de calculer le flux sortant du champ électrique à travers une surface fermée (S) :
où Qint désigne les charges intérieures à la surface fermée (S).
Le théorème de Gauss apparaît ainsi encore valable en régime dépendant du temps, même si les charges électriques peuvent être en mouvement.
En régime permanent, les sources du champ électrique sont les charges caractérisées par la densité ρ.
Les lignes de champ divergent à partir des charges positives à la manière d'un fluide sortant d'une véritable source et disparaissent sur les charges négatives comme un fluide dans un puits.
Tel est encore le cas en régime non permanent, à la différence près que (voir conséquence de l'équation de Maxwell-Faraday), ρ n'est plus la seule source du champ électrique, de telle sorte que les cartes de champ électrique n'ont plus nécessairement la même allure.
Attention : Énoncé du théorème de Gauss
Rappel : Le théorème de Gauss est aussi valable pour le champ gravitationnel
On peut noter l’analogie formelle entre le champ coulombien E d'une charge ponctuelle :
et le champ newtonien g créé par une masse ponctuelle :
où G désigne la constante de gravitation universelle.
On peut ainsi associer la charge q à la masse et la constante
à
.
Ainsi, le théorème de Gauss reste valable pour le champ gravitationnel g sous la forme intégrale :
Et sous forme locale :
où ρ désigne la masse volumique au point local M considéré.
Attention : Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel
Et, sous forme locale :
Conseil : Les utilisations classiques du théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet de calculer facilement un champ électrique lorsque les propriétés de symétrie sont fortes, notamment dans les cas classiques suivants qu'il faut connaître :
Plan infini chargé en surface uniformément (répartition
) : 
(Oz) est la normale au plan chargé.
Sphère de centre O et de rayon R, chargée en volume (
et Q est la charge totale,
) : Si
:
Si
:
On utilise ici la base sphérique.
Fil infini chargé de manière linéique (
) : 
On utilise ici la base cylindrique
Simulation : Une animation JAVA sur le théorème de Gauss (JJ.Rousseau, Université du Mans)
Théorème de Gauss : cliquer ICI
