Soulèvement d'une demi-sphère
Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
Une cloche hémisphérique de rayon R et de masse m repose sur un plan horizontal.
Elle contient de l'eau jusqu'à une hauteur H. Elle est percée d'un petit trou en son sommet.
Question
Montrer qu'il existe une hauteur critique HC au-delà de laquelle l'équilibre est rompu.
Exprimer la force pressante élémentaire et la calculer en tenant compte des symétries.
La pression au sein de l'eau est :
où
est la pression atmosphérique.
Sur un élément de surface dS de la cloche en contact avec l'eau, la résultant des forces de pression est :
Par raison de symétrie de révolution autour de l'axe z, la contribution de cette force à la force résultante est :
En associant tous les éléments de surface à même hauteur z :
Pour intégrer à tous les éléments de surface de la cloche, il est commode d'utiliser :
On obtient finalement :
Ainsi, si :
la cloche se soulève.
On obtient la hauteur critique :
