Exo 6
Soit
la suite définie par :
et :
.
Question
Etudier la convergence de la suite
.
Montrez l'existence de
et étudiez le sens de variations de la suite.
Une récurrence évidente montre que :
car
.
Donc la suite est bien définie.
La fonction
:
est continue et strictement décroissante sur
car
si
.
Donc
définit une bijection de
dans
.
Donc :
et
.
Donc :
. Donc :
.
Donc la suite
est décroissante et minorée par
. Donc elle converge.
Comme la fonction
est continue sur
, la limite de
est solution de l'équation
, donc de
et elle est positive ou nulle.
Conclusion : La suite
converge vers
.
Question
Etudier la convergence de la série de terme général
.
Etudiez la convergence de la suite
en utilisant un développement limité.
La condition nécessaire de convergence d'une série est vérifiée puisque :
.
De plus :
par développement limité du logarithme.
Donc :
. Donc :
.
Donc :
. Donc, d'après le théorème de Césaro :
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Donc
. Donc la série à termes positifs
est de même nature que la série
.
Or la dérie
est une série de Riemann divergente (
).
Conclusion : La série
est divergente.
