Cambodge 2021

A priori, ce n'est pas une série à termes positifs : on étudie le signe de .

où est la fonction définie par : .

Cette fonction est de classe sur et .

Donc : , et donc est décroissante sur .

Or : . Donc : , et donc est croissante sur .

Or : car . Donc : .

Donc : , et donc la série est alternée.

De plus, la suite est décroissante car , donc : .

Et la suite converge vers 0 car .

On applique le critère des séries alternées.

Conclusion : La série est convergente.

La série n'est pas à termes positifs.

On étudie la série et on utilise le critère de Cauchy.

. Or : .

Donc, par continuité de la fonction sinus : .

Or , donc : . Donc : .

Donc la série est convergente et la série est absolument convergente.

Conclusion : La série est convergente.

La série n'est pas une série à termes positifs. Donc on étudie la série .

Or : . Donc la série est de même nature que la série qui est une série de Riemann divergente ( ).

Donc la série n'est pas absolument convergente.

Etudions les sommes partielles : .

Donc : .

Et : .

Soit : .

Donc : . Donc la série à termes négatifs est de même nature que la série .

Or la série est une série de Riemann convergente car .

Donc la série est convergente. Soit la somme de cette série.

Donc : . Donc : .

Donc la suite des sommes partielles de la série converge.

Conclusion : La série est (semi) convergente.