Développement d'une fonction en série entière
Fondamental :
Propriétés des sommes de séries entières d'une variable réelle
Soit
une série entière de rayon de convergence
et soit
sa somme :
.
Continuité : La somme
est continue sur
.
Primitive : Le rayon de convergence de la série entière
est
et :
.
Dérivation : Le rayon de convergence de la série entière
est
. La somme
est dérivable et :
. La somme
est même
sur
et :
.
On se pose le problème inverse : toute fonction est-elle somme d'une série entière ?
Définition :
Une fonction
définie sur
(
) est développable en série entière s'il existe une série entière
de rayon de convergence
telle que :
.
Alors la fonction
est
et :
.
Si
est développable en série entière, il y a donc unicité de cette série et :
.
Définition :
La série de Taylor associée à une fonction
de classe
sur
(
) est la série entière
.
Mais, la série de Taylor de
peut converger sans que
en soit la somme.
Par exemple, la fonction
définie par :
si
et
est de classe
sur
, et toutes ses dérivées sont nulles en
. Donc sa série de Taylor converge et elle est nulle, et donc sa somme n'est pas égale à
.
Toutes les fonctions ne sont donc pas développables en série entière.
Fondamental :
Une fonction
définie sur
(
) est développable en série entière si et seulement si :
.
C'est une conséquence de la formule de Taylor avec reste intégral :
.
En particulier, s'il existe une constante
telle que
, alors la fonction
est développable en série entière.
Fondamental :
Les fonctions suivantes sont développables en séries entières :
.
.
.
.
.
.
.
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