Séries entières
Définition :
Une série entière est une série de fonctions de
ou
dans
et de la forme
où où
est une suite numérique.
Lemme d'Abel : S'il existe
tel que la suite
soit bornée, alors la série
converge absolument pour tout
tel que
.
L'ensemble des réels
tels que la suite
soit bornée est une partie non vide de
car il contient
.
Définition :
Le rayon de convergence d'une série entière
est :
si cet ensemble est majoré.
si cet ensemble n'est pas majoré.
Le disque de convergence de la série est :
si
. Sinon, c'est
.
L'intervalle de convergence de la série est l'intervalle réel
si
. Sinon, c'est
.
Le rayon de convergence est aussi :
.
Fondamental :
Convergence de la série :
Si
, la série
est absolument convergente.Si
, la série
est grossièrement divergente.Une série entière est normalement convergente dans tout compact contenu dans son disque de convergence.
Inversement :
Si
, alors
. Si la suite
diverge, alors
.
Les règles de D'Alembert et de Cauchy permettent dans certains cas un calcul pratique du rayon de convergence.
Fondamental :
Règle de D'Alembert :
Soit
une série entière telle que la suite
admette une limite
(réelle ou infinie).
Si
, alors :
.Si
, alors :
.Si
, alors :
.
Règle de Cauchy :
Soit
une série entière telle que la suite
admette une limite
(réelle ou infinie).
Si
, alors :
.Si
, alors :
.Si
, alors :
.
La comparaison des coefficients de deux séries entières permet de comparer leurs rayons de convergence.
Fondamental :
Comparaison de séries entières
Soient
et
deux séries entières de rayons de convergence
et
.
Si
ou
, alors :
. Si
, alors :
.
Fondamental :
Somme de deux séries entières
Si les séries entières
et
ont pour rayon de convergence
et
, alors la série
a un rayon de convergence
avec égalité si
.
Et si
, alors :
.
Fondamental :
Produit de Cauchy de deux séries entières
Le produit de Cauchy des séries entières
et
est la série entière
avec
.
Si les séries entières
et
ont pour rayon de convergence
et
, alors leur produit de Cauchy
a un rayon de convergence
.
Si
, alors :
.
