Cambodge 2021

Sous-espaces vectoriels

Dans ce qui suit, désigne un - espace vectoriel.

Une partie est un sous-espace vectoriel de si la restriction des lois à munit d'une structure d'espace vectoriel.

Une partie est un sous-espace vectoriel de si et seulement si et : .

Propriétés :

Tout sous-espace vectoriel de contient .
Tout sous-espace vectoriel de est stable par combinaison linéaire : pour tous les vecteurs de et tous les scalaires , le vecteur appartient à .
Si et sont des sous-espaces vectoriels de , alors est un sous-espace vectoriel de .

Par contre, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est en général pas un sous-espace vectoriel.

La somme de deux sous-espaces vectoriels et de est : .

C'est le plus petit sous-espace vectoriel de contenant .

Si et sont des sous-espaces vectoriels de , la somme est directe si . On la note .

Une somme est directe si et seulement si tout vecteur de se décompose de manière unique en où et .

Deux sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires si .

Deux sous-espaces et sont supplémentaires si et seulement si : .

Exemples :

L'ensemble des applications paires et l'ensemble des applications impaires de dans sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans l'espace vectoriel des applications de dans .
En effet, toute application peut s'écrire avec et .
Et cette décomposition de en somme d'une application paire et d'une application impaire est unique.
L'ensemble des matrices symétriques et l'ensemble des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre .
En effet, toute matrice peut s'écrire avec et .
Et cette décomposition de en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique est unique.