Fonctions numériques de plusieurs variables
Soit
(ou un espace vectoriel normé de dimension
sur
), et
une fonction de
dans
.
Définition :
Une fonction
définie sur un ouvert
non vide de
est continue en un point
de
si :
.
Une fonction
définie sur un ouvert
non vide de
est continue sur
si elle est continue en tout point de
.
Exemple :
et
.
.
Or :
et
.
Donc :
.
Donc la fonction
est continue en
car :
.
Fondamental :
Opérations algébriques
Si
et
sont deux fonctions définies sur un ouvert
non vide de
et si elles sont continues en un point
de
, alors :
leur somme
est continue en
.leur produit
est continue en
.leur quotient
est continue en
à condition que
.
Exemple :
si
, et :
.
Les fonctions
et
sont polynômiales, donc continues sur
.
Donc, par quotient, la fonction
est continue sur
.
Fondamental :
Composition
Si
est une fonction définie sur un ouvert
non vide de
et continue en un point
de
, et si
est une fonction définie sur
et continue en
, alors la fonction
est continue en
.Si
, ...,
sont des fonctions définies sur une partie
de
et continues en
, et si
est une fonction définie sur un ouvert
contenant
et continue en
, alors la fonction
est continue en
.
Dans l'exemple précédent, si
était continue en
, on aurait :
.
Or :
si
. Donc la fonction
n'est pas continue en
.
Définition :
La fonction
admet un développement limité d'ordre
en
s'il existe une application linéaire
et un voisinage
de
tels que :
et
.
Si cette application linéaire
existe, elle est unique. On dira que
est différentiable en
et
est l'application linéaire tangente de
en
.
La fonction
est différentiable sur l'ouvert
si elle est différentiable en tout point de
.
Sa différentielle est l'application
de
dans
qui à tout point
de
associe l'application linéaire tangente de
en
:
.
Exemple :
. Donc si
et
:
.
Donc :
.
L'application
:
est linéaire de
dans
. Et :
.
Donc :
. Donc
est différentiable en tout point de
.
Sa différentielle
est l'application qui à tout
de
associe l'application linéaire :
.
Fondamental :
Propriétés
Si la fonction
est différentiable en
, alors
est continue en
.Si
et
sont différentiables en
, alors
est différentiable en
pour tout réel
.Et :
.Si
est différentiable en
et si
est différentiable en
, alors
est différentiable en
. Et :
.Si
est une fonction de
dans
dérivable en
et si
est différentiable en
, alors
est dérivable en
. Et :
.
Définition :
La fonction
admet une dérivée en
suivant le vecteur
si la fonction
est dérivable en
.
La dérivée de
en
suivant le vecteur
est la fonction définie par :
.
Exemple : Soit
la fonction définie par
.
Soit
et
un vecteur non nul.
.
Donc :
.
Donc
admet en
une dérivée suivant
:
.
Fondamental :
Propriété : Si
est différentiable en
, alors
admet en
une dérivée suivant tous les vecteurs. Et :
.
Définition :
Si
est une base de
,
admet une dérivée partielle en
par rapport à
si
admet une dérivée en
suivant le vecteur
.
La dérivée partielle de
en
par rapport à
est la fonction définie par :
.
Méthode :
Dans la pratique, pour calculer la dérivée partielle de
par rapport à une variable
en
, on considère toutes les autres variables comme des paramètres constants, et on dérive la fonction
en
.
Dans l'exemple précédent, la dérivée partielle par rapport à
est la dérivée de la fonction
.
Donc :
. Donc :
.
De même, la dérivée partielle par rapport à
est la dérivée de la fonction
.
Donc :
. Donc :
.
Fondamental :
Propriétés
Si
est différentiable en
, alors
admet des dérivées partielles d'ordre
et :
.Si
admet des dérivées partielles continues en
, alors
est différentiable en
.
Attention ! Une fonction peut admettre des dérivées partielles en
sans être différentiable en
.
Définition :
La fonction
est continûment différentiable ou de classe
en
si
est différentiable en
et si sa différentielle
est continue en
.
La fonction
est continûment différentiable ou de classe
sur
si
est différentiable sur
et si sa différentielle
est continue sur
.
Fondamental :
Propriétés
La fonction
est de classe
sur
si et seulement si
admet des dérivées partielles sur
et si ces dérivées partielles sont continues sur
.Si
et
sont de classe
sur
, alors la fonction
est de classe
sur
pour tout
.Si
est de classe
sur
et si
est de classe
sur un ouvert
contenant
, alors
est de classe
sur
.
Définition :
La fonction
est de classe
sur un ouvert
non vide si
est continue sur
.
Pour tout
,
est de classe
sur
si
est de classe
sur
et si ses dérivées partielles sont de classe
sur
.
Si
est de classe
, on définit ses dérivées partielles d'ordre
:
.
La fonction
est de classe
si elle est de classe
pour tout entier
.
