Solution

L'univers image est et les tirages sont successifs avec remise, donc indépendants.

Pour tout entier , on définit :

• l'événement : « la -ème boule tirée est blanche ».

• l'événement : « la -ème boule tirée est rouge ».

A chaque étape, la probabilité de tirer une boule blanche est égale à , et celle de tirer une boule rouge est égale à .

L'événement est réalisé si on a une rouge au premier tirage : .

L'événement est réalisé si on tire une blanche, puis une rouge : .

Il y a remise, donc les événements et sont indépendants.

Donc : .

Si , l'événement est réalisé si l'on a tiré d'abord boules blanches, puis une boule rouge : .

Tous ces événements sont indépendants puisqu'il y a remise.

Donc :

On peut remarquer que la formule est encore vraie pour .

Donc : pour tout .

On vérifie :

en posant .

En effet, on reconnaît une série géométrique convergente car .