Équation de conservation de l'énergie

En l'absence de sources :

On considère un corps homogène (en fait, le plus souvent liquide ou solide) de masse volumique ρ, de conductivité thermique λ et de capacité thermique c. Ces grandeurs sont supposées constantes.

Dans un 1^er temps, on suppose qu'il n'y a pas au sein du milieu de sources susceptibles de fournir de la chaleur localement. On reste enfin à une dimension selon (Ox).

On applique le 1^er principe de la thermodynamique à un petit volume dSdx :

Or :

Donc :

Par ailleurs, le flux thermique par conduction est :

Ou encore :

Finalement, le 1^er principe de la thermodynamique donne :

Finalement : (équation de conservation de l'énergie sans sources)

En présence de sources :

On suppose maintenant la présence de sources de chaleur au sein du milieu ; on note p_s(x,t) la puissance volumique dégagée (de manière algébrique) par ces sources.

Exemple (effet Joule) : si le matériau est parcouru par un courant électrique, le volume dSdx, de résistance électrique dR, traversé par le courant électrique di = jdS, reçoit, par effet Joule, pendant la durée dt, l'énergie :

D'où la puissance volumique due à l'effet Joule :

En présence de sources, le bilan énergétique devient :

Soit :